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El hombre anumérico de John Allen Paulos – Apuntes Breves

Posted by Raul Barral Tamayo en Miércoles, 10 de marzo, 2010


En este brillante ensayo, al alcance de cualquier lector, el matemático norteamericano John Allen Paulos nos revela cómo nuestra incapacidad para aprehender la ley de los grandes números, y todas las probabilidades que conllevan, desinforman políticas de gobierno, confunden decisiones personales y aumentan nuestra vulnerabilidad ante todo tipo de seudociencias.

¿Por qué sabemos tan pocas matemáticas? ¿Es voluntaria o no esa resistencia nuestra a comprender ese aspecto siempre más presente en nuestra vida diaria? ¿Cuál es el coste social e individual de esta ignorancia? Para que entendamos mejor sus argumentos sobre los grandes números y las probabilidades el autor recurre a divertidas y cotidianas anécdotas ilustrativas. Comprendemos entonces sin esfuerzo por qué nos empeñamos en jugar a la lotería o en acudir a astrólogos y adivinos, por qué suspendemos viajes por temor a atentados terroristas, no sabemos cuadrar una cuenta bancaria o pensamos que poco importa un billón de pesetas de más o de menos en los presupuestos del Estado, por qué perdemos tanto tiempo en nimiedades y cometemos tantas torpezas evitables.

Dejemos, pues, de ser anuméricos, o analfabetos en matemáticas, y veremos qué, según Douglas Hofstadter, autor de Gödel, Escher, Bach, “nuestra sociedad sería totalmente distinta si cualquiera pudiera entender realmente las ideas de este importante libro … que podría constituir una auténtica revolución en la enseñanza de las matemáticas”. Y añade el gran Isaac Asimov : “Inteligente análisis de las locuras que engendra la falta de comprensión de la ciencia y de las matemáticas”.

Algunas de las cosillas que aprendí leyendo este libro que no tienen porque ser ni ciertas ni falsas ni todo lo contrario:

  • El anumerismo o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, puede ser perfectamente instruidos.
  • A menudo se presume del analfabetismo matemático, contrariamente a lo que se hace con otros defectos, que se ocultan. Este travieso enorgullecerse de la propia ignorancia matemática se debe, en parte, a que sus consecuencias no suelen ser tan evidentes como las de otras incapacidades.
  • Estoy convencido que la gente responde mejor a los ejemplos ilustrativos que a las exposiciones generales.
  • En mi opinión, algunos de los bloqueos para el manejo de los números ante la incertidumbre y las coincidencias, o al modo en que se ha planteado el problema.
  • Una consecuencia del anumerismo de la que raramente se habla, es su conexión con la creencia en la pseudociencia.
  • Hay un gran vacío que separa las valoraciones que hacen los científicos sobre determinados riesgos y la inquietud que éstos despiertan en la mayoría de la gente, vacío que a la  larga nos puede producir, bien una ansiedad paralizante o infundada, bien unas demandas de seguridad absoluta económicamente inviables.
  • Una de las aseveraciones en la que se insiste en el libro es que las personas anuméricas tienen una marcada tendencia a personalizar: su imagen de la realidad está deformada por sus propias experiencias.
  • Siempre me sorprende y me deprime encontrar estudiantes que no tienen la menor idea de cuál es la población de los Estados Unidos, de la distancia aproximada entre las costas Este y Oeste, ni de qué porcentaje aproximado de la humanidad representan los chinos.
  • Si uno no tiene cierta comprensión de los grandes números comunes, no reacciona con el escepticismo pertinente a informes aterradores como que cada año son raptados más de un millón de niños norteamericanos.
  • Si uno no posee cierta comprensión de las probabilidades, los accidentes automovilísticos le pueden parecer un problema relativamente menor de la circulación local.
  • También es típica la tendencia de sentir como iguales el riesgo de padecer cualquier enfermedad exótica rara y la probabilidad de tener una enfermedad circulatoria o cardíaca.
  • Un patinazo entre millones y miles de millones, o entre miles de millones y billones debería hacernos reír y en cambio no es así, pues demasiado a menudo carecemos de una idea intuitiva de tales números.
  • Un millón de segundos sólo duran aproximadamente once días y medio, mientras que para que pasen mil millones de segundos hay que esperar casi 32 años.
  • Otras fuentes más comunes de números grandes son el billón de dólares del presupuesto federal y nuestra creciente reserva de armamento.
  • Las armas nucleares que puede llevar un solo submarino Trident tienen un poder explosivo ocho veces mayor que el empleado en toda la segunda guerra mundial.
  • ¿Cuántas pizzas se consumen anualmente en los Estados Unidos?¿Cuántas palabras lleva uno dichas a lo largo de su vida?¿Cuántos nombres de persona distintos salen cada año en el New York Time?¿Cuántas sandías cabrían en el Capitolio?¿Cuántos coitos se practican diariamente en el mundo? En general estos cálculos son muy fáciles.
  • Siempre me ha chocado la inconsistencia que han mostrado los distintos autores en su empleo de los números grandes.
  • Darse cuenta de inconsistencias internas es uno de los placeres menores de cierta cultura numérica.
  • Lo importante no es que uno esté analizando permanentemente la consistencia y la plausibilidad de los números, sino que, cuando haga falta, pueda recoger información de los puros datos numéricos, y que pueda refutar afirmaciones, basándose sólo en las cifras que las acompañan.
  • Si la gente estuviera más capacitada para hacer estimaciones y cálculos sencillos no se tendrían en consideración tantas opiniones ridículas.
  • Al aumentar por cinco la altura de un hombre, su peso aumentará en un factor de 5^3, mientras que su capacidad para sostener peso aumentará sólo en un factor de 5^2.
  • Aunque en la mayoría de situaciones los aumentos y disminuciones de escala dan primera aproximaciones razonablemente buenas, a menudo dan malos resultados.
  • La arquimedianidad es una propiedad fundamental de los números, según la cual se puede rebasar cualquier número, por grande que sea, agregando repetidas veces cualquier número menor, por pequeño que éste sea.
  • No es sencillo acostumbrarse al hecho de que los tiempos y distancias minúsculos de la microfísica, y también la inmensidad de los fenómenos astronómicos, comparten las dimensiones de nuestro mundo a escala humana.
  • Estos cálculos llevan aparejada una sensación de poder que resulta difícil de explicar y que implica, en cierto modo, abarcar mentalmente el mundo.
  • La llamada regla del producto es engañosamente simple y muy importante. Si una elección tiene M alternativas posibles y otra elección distinta tiene N, entonces la realización de ambas elecciones admite M x N alternativas distintas. Este principio es sumamente útil para el cálculo de grandes números.
  • En el cálculo de probabilidades se puede emplear una variante de la regla del producto. Si dos acontecimientos son independientes la probabilidad de que ocurran ambos a la vez se calcula multiplicando las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos por separado.
  • Aplicando la regla del producto, el matemático John Von Neumann ideó un truco que permite que los contendientes usen una moneda cargada y sin embargo se obtengan resultados limpios. Se tira dos veces la moneda. Si salen dos caras o dos cruces, se vuelve a tirar otras dos veces. Si sale cara-cruz, gana la primera parte, si sale cruz-cara, gana la segunda. La probabilidad de ambos resultados es la misma, aun si la moneda está cargada.
  • Un instrumento importante es la distribución binomial de probabilidades. Aparece siempre que consideramos una prueba o procedimiento que admite dos resultados, llamémosles “positivo” y “negativo”, y pretendemos conocer la probabilidad de que al cabo de una serie de N intentos se obtenga “positivo” en R de ellos.
  • ¿Cuál es la probabilidad de que hayas inhalado por lo menos una de las moléculas que exhaló César en su último suspiro? La respuesta es sorprendentemente alta: más del 99 por ciento.
  • Tanto si las llamamos coincidencias, sincronizaciones o ironías, resulta que son mucho más frecuentes que lo que la gente cree.
  • Una de las principales características de las personas anuméricas es la tendencia a sobrestimar la frecuencia de las coincidencias. Generalmente dan mucha importancia a todo tipo de correspondencias, y en cambio, dan muy poca a evidencias estadísticas menos relumbrantes, pero absolutamente concluyentes.
  • Pocas experiencias me descorazonan más que encontrarme con alguien que parece inteligente y abierto, que de pronto me pregunta por mi signo del zodíaco.
  • ¿Cuántas personas habrá de tener el grupo para que la probabilidad de que por lo menos dos de ellas hayan nacido el mismo día sea del 50%? A primera vista uno diría que 183, la mitad de 366. La respuesta sorprendente es que sólo hacen falta 23.
  • Mientras es probable que ocurra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un hecho concreto. La conclusión paradójica es que sería muy improbable que los casos improbables no ocurrieran.  Son las predicciones concretas las que raramente se hacen realidad.
  • Si suponemos que cada uno de los aproximadamente 200 millones de adultos que viven en los Estados Unidos conoce a unas 1500 personas, razonablemente dispersas por todo el país, entonces la probabilidad de que cada dos tengan un conocido en común es del uno por ciento, y la de que estén unidos por una cadena de dos intermediarios es mayor que el noventa y nueve por ciento.
  • Hay una tendencia general muy fuerte a olvidar los fracasos y concentrarse en los éxitos y los aciertos. Los casinos abonan esta tendencia haciendo que cada vez que alguien gana parpadeen las lucecitas y la moneda tintinee en la bandeja de metal. Las pérdidas y los fracasos son silenciosos.
  • Para casi cualquier magnitud que uno elija, el valor medio de una gran colección de medidas es aproximadamente el mismo que el valor medio de un pequeño conjunto, y en cambio el valor extremo de un conjunto grande es considerablemente más extremo que el de una colección pequeña.
  • La gente sólo suele prestar atención a los vencedores y a los casos extremos.
  • Lo que suele proporcionar más información son los valores medios o los valores “esperados”. El valor esperado de una cantidad es la media de los valores que toma, pesados según sus probabilidades respectivas.
  • La rareza por sí misma no prueba nada. Cada mano de bridge es muy improbable. También lo son las manos de poker y los billetes de lotería.
  • No se pueden sacar promedios de promedios.
  • La creencia errónea de que el hecho de que hayan salido varias caras seguidas hace más probable que la próxima vez salga cruz se conoce como “sofisma del jugador”. Es tan probable que la diferencia entre caras y cruces aumente como que disminuya.
  • No hay que confundir el sofisma del jugador con otro fenómeno, la regresión a la media, que sí se cumple.
  • La mayoría de la gente no se da cuenta de que los sucesos aleatorios pueden presentar una apariencia completamente ordenada.
  • Un comentarista casi nunca dice que la actividad de la bolsa de ese día o de tal semana ha obedecido, por lo general, a fluctuaciones aleatorias.
  • Los grupos, series y pautas que presentan las sucesiones aleatorias son hasta cierto punto predecibles. Nos pueden servir para determinar si cierta sucesión de caras y cruces, o de aciertos y fallos, es debida al azar.
  • Siempre he tenido la sospecha de que cosas como “racha de suerte” o “manitas” o un “equipo que siempre remonta”, no eran más que exageraciones de los periodistas deportivos. Seguramente tales expresiones signifiquen algo, pero demasiado a menudo sólo son fruto de un intento mental por descubrir un significado donde no hay más que probabilidad.
  • Los acontecimientos raros, que son fruto del azar, no se pueden predecir individualmente. Lo que sí se puede describir en términos de probabilidad es la estructura de su aparición.
  • Primero hay que conocer aproximadamente la improbabilidad del hecho y, una vez conocida, se puede usar esta información junto con la fórmula de Poisson, para tener una idea bastante aproximada de, por ejemplo, cuántos años pasarán sin que haya muertos por coz de caballo. En este sentido, podemos decir que hasta los sucesos raros son completamente predecibles.
  • Isaac Asimov: “Examinad fragmentos de seudociencia y encontrareis un manto de protección, un pulgar que chupar, unas faldas a las que agarrarse. ¿Y qué ofrecemos nosotros a cambio? ¡Incertidumbre! ¡Inseguridad!
  • William Cowper: “Guiarse por precedentes absurdos y cerrar los ojos es más fácil que pensar”.
  • El anumerismo y la seudociencia suelen ir de la mano, debido en parte a lo fácil que es invocar la certidumbre matemática para obligar al anumérico a asentir estúpidamente ante cualquier afirmación.
  • Las proyecciones estadísticas lineales se invocan a menudo tan a la ligera, que no sería de extrañar que algún día alguien dijera que el plazo de espera proyectado para un aborto es de un año.
  • Popper ha criticado el freudismo por hacer predicciones y afirmaciones que son generalmente no falsables.
  • No ha habido estudios reproducibles que hayan demostrado la validez de la parapsicología.
  • El “efecto Jeane Dixon”, según el cual las relativamente pocas predicciones correctas son proclamadas a los cuatro vientos, y por tanto recordadas por mucha gente, mientras que las predicciones fallidas, mucho más numerosas, son convenientemente olvidadas y borradas.
  • Muchos ejemplos de seudociencia son desesmascaradas en The Skeptical Inquirer.
  • El mejor antídoto contra la astrología en particular y contra la seudociencia en general es la verdadera ciencia, cuyas maravillas son igualmente asombrosas y tienen la virtud adicional de que probablemente sean reales.
  • La medicina es un terreno fértil para las pretensiones seudocientíficas por una razón muy sencilla. La mayoría de enfermedades y estados físicos, a) mejoran por sí solos, b) remiten espontáneamente, o c) aun siendo fatales, rara vez siguen estrictamente una espiral descendente.
  • No hay una separación clara ni algoritmos fáciles que nos permitan distinguir la ciencia de la seudociencia. La frontera entre ambos es demasiado borrosa.
  • No hace falta ser un seguidor de ninguna de las seudociencias corrientes para hacer falsas afirmaciones o deducciones incorrectas. Muchos de los errores habituales en el método de razonamiento se deben a una mala comprensión del concepto de probabilidad condicional.
  • Es muy frecuente cierta confusión entre la probabilidad de A condicionada a B y la probabilidad de B condicionada a A.
  • La probabilidad condicionada explica por qué el blackjack es el único juego de azar en el que tiene sentido recordar lo que ha salido antes.
  • Una elaboración interesante a partir del concepto de probabilidad condicional es el conocido teorema de Bayes. Supongamos que el 0.5% de la población padece verdaderamente cáncer. Supongamos que haya un análisis para detectar el cáncer con una fiabilidad del 98%. Se hacen 10k pruebas, tendremos 49 análisis positivos de las personas con cáncer de 50, del resto habrá 199 análisis falsos positivos, la probabilidad condicional de padecer cáncer sabiendo que se ha dado positivo es sólo 49/248, ¡aproximadamente un 20%!.
  • Es un error muy extendido confundir una proposición condicional, si A entonces B, con su recíproca, si B entonces A.
  • Refutar la afirmación de que algo existe es a menudo muy difícil. Y también a menudo se toma esta dificultad como prueba de que la afirmación es cierta.
  • La enseñanza elemental de las matemáticas es generalmente pobre.
  • Casi nunca se enseña a razonar inductivamente, ni se estudian los fenómenos matemáticos con vistas a captar las reglas y propiedades más relevantes.
  • Casi siempre es posible hacer una presentación atractiva e intelectualmente honesta de cualquier campo, con un mínimo de aparato técnico.
  • Las cosas desagradables ocurren de vez en cuando y le han de suceder a alguien. ¿Por qué no a ti?
  • La rareza, por sí misma, conlleva publicidad y esto hace que sucesos raros parezcan corrientes.
  • Nuestro deseo innato de encontrar significado y forma nos puede inducir a error si no nos esforzamos en tener presente la ubicuidad de la coincidencia, de la complejidad creciente de nuestro mundo y de la inesperada frecuencia de las coincidencias de muchos tipos.
  • La creencia en que las coincidencias son necesarias o probablementes significativas es una reminiscencia psicológica de un pasado más simple.
  • La tendencia a atribuir un significado a fenómenos que están regidos por el azar, sencillamente, es omnipresente.
  • Conduce a un absurdo cuando la gente atribuye la regresión a la media a una especie de ley científica, y no al comportamiento natural de cualquier cantidad aleatoria.
  • Tversky y Kahneman concluyen que, ante la posibilidad de ganancias, las personas tienden a evitar los riesgos, mientras que prefieren correr riesgos para evitar pérdidas.
  • Otro fenómeno, distinto de la angustia matemática y mucho más difícil de tratar, es el letargo intelectual extremado que afecta a un número pequeño, aunque cada vez mayor, de estudiantes, que parecen tan faltos de disciplina mental o de motivación que no les entra nada.
  • Reducir la complejidad de la inteligencia o la economía a una escala numérica, ya sea ésta el CI o el PNB, es una miopía, en el mejor de los casos, y muchas veces, simplemente ridículo.
  • A menudo se considera que la matemática es un tema reservado para los técnicos, y se confunde el talento matemático con la pericia para ejecutar operaciones rutinarias, la habilidad en programación elemental o la velocidad de cálculo.
  • Como las percepciones tienden a convertirse en realidades, la tendencia natural de los medios de comunicación a resaltar lo que es anómalo, unida al gusto por esos extremos de una sociedad anumérica, podría tener consecuencias calamitosas.
  • Se estima que, debido al crecimiento exponencial de la población mundial, actualmente están vivos entre el 10 y el 20 por ciento de todos los seres humanos que han vivido en algún momento.
  • La teoría de la probabilidad empezó en el siglo diecisiete con problemas de apuestas y juego.
  • Hay dos tipos de errores que se pueden cometer al aplicar un test estadístico y se llaman en un derroche de imaginación, errores del Tipo I y errores del Tipo II. Se produce un error del Tipo I cuando se acepta una hipótesis falsa, y uno del tipo II, cuando se rechaza una hipótesis verdadera.
  • Casi siempre hay un compromiso entre la calidad y el precio, entre los errores de Tipo I y los de Tipo II.
  • Mucha gente se sorprende de que el número de individuos que los encuestadores entrevistan para llegar a sus resultados sea tan pequeño. Si la muestra aleatoria seleccionada consta de mil individuos, el intervalo de confianza teórico del 95% para la estimación de los votantes del candidato X o de quienes prefieren la comida para perro de marca Y es aproximadamente de más o menos el 3%.
  • Una de las preocupaciones más importantes en las encuestas por correo es evitar que la muestra se autoseleccione, al ser más probable que contesten los individuos más comprometidos y estimulados, o los pertenecientes a cualquier otro grupo atípico.
  • Es escandalosa la inclinación de los diarios y revistas a publicar resultados sesgados basados en respuestas a cuestionarios que vienen en el mismo periódico.
  • A menos que la muestra encuestada sea escogida al azar, y no autoseleccionada, los resultados de la encuesta no significarán gran cosa.
  • Para los anuméricos especialmente, unas pocas predicciones o coincidencias vividas tienen a menudo más peso que una evidencia estadística que, aunque menos impresionante, es más concluyente.
  • Una manera poco común de obtener información es la que se conoce como método de pescar-repescar. Supongamos que queremos saber cuántos peces hay en cierto lago. Capturamos cien, los marcamos y los volvemos a soltar. Dejamos que se dispersen por el lago, volvemos a pescar otros cien peces y miramos qué fracción de ellos están marcados.
  • Ley de los grandes números, uno de los teoremas más importantes de la teoría de la probabilidad, a menudo mal entendido. A la larga, la diferencia entre la probabilidad de cierto suceso y la frecuencia relativa con la que éste ocurre tiende a cero.
  • El teorema del límite central dice que la suma o la media de un gran conjunto de mediciones sigue una curva normal, incluso en el caso de que cada medición por separado no lo haga. Las medias, o las sumas, de cantidades tienden a seguir una distribución normal, aun cuando las cantidades de las que son medias, o suma, no la sigan.
  • Correlación y causalidad son dos palabras con significados completamente distintos, pero los anuméricos tienen una tendencia muy fuerte a confundirlas.
  • Hay muchas correlaciones puramente accidentales.
  • Cuando los datos estadísticos se presentan desnudos, sin ninguna información del tamaño y composición de la muestra, de los protocolos metodológicos y las definiciones, de los intervalos de fiabilidad, los niveles de significación, etc, casi lo único que podemos hacer es encogernos de hombros o, si tenemos ganas, tratar de determinar el contexto por nosotros mismos.
  • Si se quiere impresionar a la gente, y en particular a los anuméricos, con la gravedad de una situación, al hablar de un fenómeno raro que afecte a una base amplia de población, siempre puede seguir la estrategia de hablar de los números absolutos y no de las probabilidades. Esta actitud se conoce a veces como la falacia de la “base extensa”.
  • La mayoría de cantidades no tienen una curva de distribución en forma de campana, y su valor medio tiene una importancia limitada si no va acompañado de alguna medida de la variabilidad de la distribución y de una apreciación de la forma aproximada de dicha curva de distribución.
  • No es fácil obtener la aleatoriedad cuando se juega a las cartas, pues barajar un mazo de cartas dos o tres veces no es suficiente para destruir cualquier orden que pudiera haber previamente. Como ha demostrado el estadístico Persi Diaconis, normalmente es necesario barajar por completo de seis a ocho veces.
  • En la mayoría de los casos los números seudoaleatorios generados por ordenador son suficientemente buenos.
  • Un buen número de medicamentos tienen la propiedad de que son demostrablemente mejores que nada, pero no mucho.
  • Las vidas humanas no tienen precio en muchos sentidos, pero para llegar a compromisos razonables, a veces se les debe asignar, efectivamente, un valor económico finito. En una situación ideal, este valor debería ser infinito, pero cuando no puede ser, nos hemos de guardar los sentimientos empalagosos.
  • Los nacimientos, las defunciones, los accidentes, las transacciones económicas, e incluso las personales, admiten una descripción estadística.
  • En un mundo cada vez más complejo, lleno de coincidencias sin sentido, lo que hace falta en muchas situaciones no son más hechos verídicos sino un dominio mejor de los hechos conocidos, y para ello un curso sobre la probabilidad es de un valor incalculable.
  • Me angustia y aflige una sociedad que depende tanto de la matemática y la ciencia y que, sin embargo, parece tan indiferente al anumerismo y al analfabetismo científico.
  • La motivación principal del libro fue el deseo de fomentar el sentido de la proporción numérica y la apreciación de la naturaleza irreductiblemente probabilística de nuestra vida.

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Libros relacionados:

A pesar de lo que pueda parecer es un libro corto y de sencilla lectura gran parte del tiempo. Recomendable.

raul

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9 comentarios to “El hombre anumérico de John Allen Paulos – Apuntes Breves”

  1. […] El hombre anumérico de John Allen Paulos. […]

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